В прямоугольной коробке, упруго ударяясь о дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает шарик. Промежуток времени между ударами о дно и о стенку равен \(\Delta t\). Дно коробки образует угол \(\alpha\) с горизонтом. Найдите скорости шарика сразу после ударов.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(\vec v_1\) — скорость сразу после удара о дно (она направлена по нормали к дну, иначе при ударе изменилась бы касательная составляющая и траектория не повторялась бы). Долетев до стенки за время \(\Delta t\), шарик должен подойти к ней тоже по нормали — со скоростью \(\vec v_2'\) (перпендикулярной стенке). Связь свободного полёта: \[ \vec v_2' = \vec v_1 + \vec g\,\Delta t. \]
Векторы \(\vec v_1\) и \(\vec v_2'\) взаимно перпендикулярны (нормали к дну и стенке), а их разность — вертикальный вектор длины \(g\Delta t\). Значит, \(\vec v_1\) и \(\vec v_2'\) — катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой \(g\Delta t\). Нормаль к дну составляет угол \(\alpha\) с вертикалью, нормаль к стенке — угол \(90^\circ - \alpha\). Проецируем: \[ v_1 = g\,\Delta t\cos\alpha \qquad\text{(после удара о дно)}, \] \[ v_2 = g\,\Delta t\sin\alpha \qquad\text{(после удара о стенку; модуль при упругом ударе сохраняется)}. \]