В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о её стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен \(T_1\), а при движении справа налево — \(T_2 \neq T_1\). Определите радиус лунки.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(d\) — расстояние между точками \(A\) и \(B\). Для дуги с временем полёта \(T\) (точки на одной высоте): \[ u = \frac{d}{T}\ \text{(горизонтальная скорость)},\qquad w = \frac{g T}{2}\ \text{(вертикальная при вылете и при посадке)}. \]
Шаг 1: модуль скорости. В точке \(B\) шарик прилетает по крутой дуге со скоростью \((u_1, -w_1)\) и улетает по пологой со скоростью \((-u_2, w_2)\). Удар упругий — модули равны: \[ \frac{d^2}{T_1^2} + \frac{g^2T_1^2}{4} = \frac{d^2}{T_2^2} + \frac{g^2T_2^2}{4}. \] Переносим и группируем: \[ d^2\,\frac{T_2^2 - T_1^2}{T_1^2 T_2^2} = \frac{g^2}{4}\left(T_2^2 - T_1^2\right) \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{g\,T_1 T_2}{2}. \]
Шаг 2: направление нормали. При ударе скорость меняется только вдоль нормали к поверхности, значит, вектор \[ \Delta\vec v = (-u_2, w_2) - (u_1, -w_1) = \left(-(u_1{+}u_2),\ w_1{+}w_2\right) \] направлен по нормали, т.е. к центру сферы. Угол нормали с вертикалью: \[ \tg\theta = \frac{u_1 + u_2}{w_1 + w_2} = \frac{d\left(\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}\right)}{\frac{g}{2}(T_1 + T_2)} = \frac{2d}{g\,T_1 T_2} = 1 \] (подставили \(d\) из шага 1). Итак, \(\theta = 45^\circ\) — нормали в точках ударов наклонены к вертикали под 45° при любых \(T_1, T_2\)!
Шаг 3: радиус. Радиус, проведённый в точку удара, отклонён от вертикали на \(45^\circ\), поэтому половина хорды \(AB\): \[ \frac{d}{2} = R\sin 45^\circ \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{d}{2\sin45^\circ} = \frac{d}{\sqrt2} = \frac{g\,T_1 T_2}{2\sqrt2}. \]