Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высоты \(H\) и длины \(L\), если бросок совершается с высоты \(h\) и для броска мальчик может выбрать любое место?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначим \(u\) и \(w\) горизонтальную и вертикальную составляющие скорости в момент пролёта первого ребра. Над крышей (между рёбрами, одна высота): время пролёта \(\tau\): \[ L = u\,\tau,\qquad w = \frac{g\tau}{2} \quad\Longrightarrow\quad u\,w = u\cdot\frac{g\tau}{2} = \frac{g L}{2} \] — произведение \(uw\) одинаково для всех подходящих траекторий!
Скорость на ребре: \(v_{\text{р}}^2 = u^2 + w^2\). Связь со скоростью броска с высоты \(h\) (задача 1.3.4 «наоборот»): \[ v^2 = v_{\text{р}}^2 + 2g\,(H - h) = u^2 + w^2 + 2g(H-h). \]
Минимизируем по неравенству о средних: \[ u^2 + w^2 \ \ge\ 2uw = gL, \] с равенством при \(u = w\) (скорость на ребре под \(45^\circ\)). Отсюда \[ v_{\min}^2 = gL + 2g(H-h) \quad\Longrightarrow\quad v_{\min} = \sqrt{g\left(2(H-h) + L\right)}. \]