Самолёты летят по одной прямой навстречу друг другу с одинаковой скоростью \(v\). Предельная дальность обнаружения ими друг друга \(l\). Один самолёт после обнаружения другого совершает разворот, не меняя модуля скорости, и летит параллельно второму самолёту. При каком постоянном ускорении самолёты потеряют друг друга из вида в конце разворота?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Радиус разворота и его длительность: \[ R = \frac{v^2}{a},\qquad t = \frac{\pi R}{v}. \]
Поставим начало координат в точку начала разворота, ось \(x\) — навстречу второму самолёту. Первый самолёт за время разворота смещается только поперёк курса — на диаметр \(2R\) (продольное смещение полуокружности равно нулю). Второй в начале разворота был в точке \(x = l\) и пролетел навстречу \(v t = \pi R\).
Квадрат расстояния между ними в конце разворота: \[ D^2 = (l - \pi R)^2 + (2R)^2. \] Самолёты потеряют друг друга, если \(D > l\): \[ (l - \pi R)^2 + 4R^2 > l^2 \quad\Longrightarrow\quad \pi^2 R^2 + 4R^2 > 2\pi R l \quad\Longrightarrow\quad R > \frac{2\pi l}{\pi^2 + 4}. \]
Подставим \(R = v^2/a\): \[ \frac{v^2}{a} > \frac{2\pi l}{\pi^2+4} \quad\Longrightarrow\quad a < \frac{(4 + \pi^2)\,v^2}{2\pi l}. \] Слишком «ленивый» (малое ускорение — большой радиус) разворот приводит к потере контакта.