Задача 1.3.25полное ускорение
Условие
Небольшое тело движется по окружности радиуса \(r\) со скоростью, которая линейно увеличивается во времени по закону \(v = kt\). Найдите зависимость полного ускорения тела от времени.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Полное ускорение — векторная сумма касательного (темп роста модуля скорости)
и нормального (\(v^2/r\)); они перпендикулярны, работает теорема Пифагора.
Касательное ускорение — постоянное: \[ a_\tau = k. \] Нормальное растёт со временем: \[ a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{k^2 t^2}{r}. \]
Полное ускорение: \[ a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{k^2 + \frac{k^4 t^4}{r^2}}. \]
Проверка. В начале (\(t=0\)) ускорение чисто
касательное, \(a = k\) ✓; со временем нормальная часть \(\propto t^4\)
под корнем берёт верх, и ускорение почти целиком направлено к центру.
Ответ
\( a = \sqrt{k^2 + \dfrac{k^4 t^4}{r^2}} \).