Край гладкого горизонтального стола скруглён по окружности радиуса \(r\).
С какой наименьшей скоростью нужно пустить по столу малое тело, чтобы оно,
достигнув скругления, сразу полетело по параболе?
Если скорость достаточна, тело отрывается прямо в начале
скругления и летит по параболе.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пока тело едет по скруглению, ему нужно центростремительное ускорение
\(v^2/r\), а обеспечить его могут только тяжесть и реакция опоры. В верхней
точке скругления тяжесть может дать максимум \(g\). Если требуется больше —
опора «не поспевает» (тянуть вниз она не умеет), контакт исчезает.
В начале скругления скорость горизонтальна, центр кривизны — под телом.
Чтобы двигаться по дуге радиуса \(r\), телу нужно ускорение \(v^2/r\),
направленное вниз. Его создают тяжесть \(g\) (вниз) и реакция стола \(N\)
(вверх):
\[ \frac{v^2}{r} = g - \frac{N}{m}\le g. \]
Если \(v^2/r > g\), даже при \(N = 0\) тяжесть не в силах удержать тело
на дуге — тело отрывается сразу и летит по параболе. Граница:
\[ \frac{v^2}{r} = g
\quad\Longrightarrow\quad
v_{\min} = \sqrt{g r}. \]
Проверка. Забавное совпадение: это формула первой
космической скорости (задача 1.3.21) — там тело тоже
«едет по окружности» на пределе, только радиусом служит вся Земля.