Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус \(R\). При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
У вершины. Пусть \(u\) — (горизонтальная) скорость камня в верхней точке. Вблизи вершины парабола опускается на \(g x^2/(2u^2)\) при смещении \(x\), а поверхность сферы — на \(x^2/(2R)\) (стандартное приближение малых дуг). Чтобы парабола огибала купол сверху, она должна опускаться не быстрее сферы: \[ \frac{g x^2}{2u^2} \le \frac{x^2}{2R} \quad\Longleftrightarrow\quad u^2 \ge gR. \] Иначе говоря, радиус кривизны параболы в вершине \(u^2/g\) должен быть не меньше \(R\). (Физически: при \(u^2 = gR\) камень в вершине «скользит» по куполу на грани отрыва — как в задаче 1.3.26.)
У земли. Вершина на высоте \(2R\); по связи «скорость–высота» (задача 1.3.4): \[ v^2 = u^2 + 2g\cdot 2R = u^2 + 4gR. \]
Минимум при наименьшем допустимом \(u^2 = gR\): \[ v_{\min} = \sqrt{gR + 4gR} = \sqrt{5gR}. \]