Снаряд вылетает из пушки со скоростью \(V\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Координаты снаряда: \(x = Vt\cos\alpha\), \(y = Vt\sin\alpha - gt^2/2\). Тогда \[ r^2 = V^2t^2\cos^2\alpha + \left(Vt\sin\alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2 = V^2 t^2 - V g\sin\alpha\; t^3 + \frac{g^2 t^4}{4}. \]
Скорость изменения \(r^2\) (приращение за малое \(\Delta t\), делённое на \(\Delta t\)): \[ \frac{\Delta (r^2)}{\Delta t} = 2V^2 t - 3Vg\sin\alpha\; t^2 + g^2 t^3 = t\left(g^2 t^2 - 3Vg\sin\alpha\; t + 2V^2\right). \] Снаряд приближается к пушке, когда эта величина отрицательна, т.е. когда квадратный трёхчлен в скобке меньше нуля — между его корнями: \[ t_{1,2} = \frac{3V\sin\alpha \mp V\sqrt{9\sin^2\alpha - 8}}{2g}. \]
Есть ли такие моменты вообще? Корни существуют, лишь если дискриминант неотрицателен: \[ 9\sin^2\alpha \ge 8 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin\alpha \ge \sqrt{\frac{8}{9}} \quad(\alpha \gtrsim 70{,}5^\circ). \] При более пологих выстрелах снаряд всё время удаляется от пушки.
Длительность приближения — расстояние между корнями: \[ t = t_2 - t_1 = \frac{V}{g}\sqrt{9\sin^2\alpha - 8}. \] Заодно убедимся, что оба корня лежат внутри времени полёта \(T = 2V\sin\alpha/g\): из \(t_2 \le T\) следует \(\sqrt{9\sin^2\alpha-8} \le \sin\alpha\), т.е. \(\sin^2\alpha \le 1\) — верно всегда ✓.