Начальные положения и скорости двух кораблей заданы на рисунке. Корабли
движутся без ускорения. Как найти наименьшее расстояние между ними?
К задаче 1.4.1 (рисунок из условия, перерисован). Начальные положения кораблей и их скорости; штриховой отрезок — начальное расстояние между ними.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Перейдём в систему отсчёта второго корабля: он «остановится», а первый
поплывёт по прямой с относительной скоростью \(\vec v_1 - \vec v_2\).
Наименьшее расстояние до прямой — перпендикуляр.
В системе отсчёта корабля 2 корабль 1 движется по
штриховой прямой вдоль \(\vec v_1 - \vec v_2\).
В системе отсчёта второго корабля первый движется равномерно и прямолинейно
со скоростью \(\vec v_{\text{отн}} = \vec v_1 - \vec v_2\) (строим её по
правилу параллелограмма: к \(\vec v_1\) прибавляем \(-\vec v_2\)).
Проведём через начальное положение первого корабля прямую вдоль
\(\vec v_{\text{отн}}\) — это его траектория относительно второго.
Наименьшее расстояние между кораблями — это наименьшее расстояние от
(неподвижного) второго корабля до этой прямой, т.е. длина перпендикуляра,
опущенного из его положения на прямую относительного движения.
Проверка. Если перпендикуляр нулевой (прямая проходит
через второй корабль) — курсы ведут к столкновению. Если
\(\vec v_1 = \vec v_2\) — относительного движения нет, расстояние остаётся
начальным. Оба предельных случая очевидны.
Ответ
в системе отсчёта второго корабля первый движется по прямой вдоль
\(\vec v_1 - \vec v_2\); наименьшее расстояние — перпендикуляр, опущенный
из положения второго корабля на эту прямую.