Внутри сферы радиуса \(R\), движущейся со скоростью \(u\), находится шарик радиуса \(r\), который в момент, когда он проходит через центр сферы, имеет скорость \(v\), перпендикулярную скорости \(u\). Масса сферы много больше массы шарика. Определите, с какой частотой шарик ударяется о стенку сферы. Удары абсолютно упругие.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Перейдём в систему отсчёта сферы. Скорость шарика в ней \[ v_{\text{отн}} = |\vec v - \vec u| = \sqrt{v^2 + u^2} \] (векторы перпендикулярны). Шарик проходит через центр, значит, движется по диаметру. При упругом ударе о тяжёлую сферу модуль относительной скорости сохраняется, а удар происходит «в лоб» (движение вдоль радиуса — нормали) — шарик отскакивает назад по тому же диаметру. И так вечно: туда-сюда по диаметру со скоростью \(\sqrt{v^2+u^2}\).
Центр шарика радиуса \(r\) пробегает между ударами отрезок \[ 2\,(R - r) \] (от касания одной стенки до касания другой). Частота ударов: \[ \nu = \frac{\sqrt{v^2 + u^2}}{2\,(R - r)}. \]