Шестерёнка радиуса \(R\) помещена между двумя параллельными зубчатыми рейками. Рейки движутся со скоростями \(v_1\) и \(v_2\) навстречу друг другу. Какова частота вращения шестерёнки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть верхняя рейка движется вправо со скоростью \(v_1\), нижняя — влево со скоростью \(v_2\). Верхняя точка шестерёнки обязана иметь скорость \(v_1\) (вправо), нижняя — \(v_2\) (влево). Для вращающегося колеса (скорость центра \(v_c\), угловая скорость \(\omega\)): \[ v_{\text{верх}} = v_c + \omega R = v_1,\qquad v_{\text{низ}} = v_c - \omega R = -v_2. \]
Вычитая, находим угловую скорость, складывая — скорость центра: \[ \omega = \frac{v_1 + v_2}{2R},\qquad v_c = \frac{v_1 - v_2}{2}. \] Частота вращения (оборотов в единицу времени): \(n = \omega/2\pi = (v_1+v_2)/(4\pi R)\); в книге «частотой» названа сама угловая скорость \(\omega\).