Тело влетает горизонтально со скоростью \(v\) в пространство между двумя вертикальными стенками, которые перемещаются со скоростью \(u\). Определите скорость тела после \(n\)-го удара о переднюю стенку. Расстояние между стенками \(L\). Удары абсолютно упругие.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Горизонталь. Удар о переднюю (убегающую) стенку: скорость после удара \(-(v - 2u)\) (задача 1.4.8, б). Затем тело летит назад со скоростью \(v-2u\), а задняя стенка идёт ему навстречу со скоростью \(u\): после удара о неё скорость снова \(+v\) (проверьте по 1.4.8, а: \(-(v-2u)\) и стенка навстречу \(u\): \(v' = (v-2u) + 2u = v\)). Картина периодична: после любого удара о переднюю стенку горизонтальная скорость равна \[ v_x = v - 2u \] — от номера \(n\) она не зависит!
Вертикаль. В системе отсчёта стенок расстояние между ними \(L\) неизменно, а тело движется по горизонтали со скоростью \(v - u\) (по модулю — и туда, и обратно, как мы видели). Каждый пролёт между стенками занимает \[ \tau = \frac{L}{v - u}. \] До \(n\)-го удара о переднюю стенку тело совершает \(2n-1\) пролётов (вперёд, назад-вперёд, …). Всё это время оно свободно падает: \[ v_y = g\,(2n-1)\,\tau = \frac{(2n-1)\,L\,g}{v - u}. \]