Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесёт, если ширина реки 200 м?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость мальчика относительно берега: \[ \vec V = \vec v + \vec w, \] где \(\vec v\) — течение (вдоль берега), \(\vec w\) — его скорость относительно воды: \(|\vec w| = v/2\), направление любое. Концы возможных \(\vec V\) заполняют окружность радиуса \(v/2\) с центром в конце \(\vec v\).
Снос тем меньше, чем круче \(\vec V\) к берегу. Самый крутой вектор — касательная к окружности. Из прямоугольного треугольника (радиус ⊥ касательной): гипотенуза \(v\), катет \(v/2\): \[ \sin\theta = \frac{v/2}{v} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 30^\circ \] — итоговая скорость наклонена к берегу на \(30^\circ\). Сам мальчик при этом гребёт перпендикулярно итоговой скорости, т.е. под углом \[ 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ\ \text{к течению},\qquad \text{или } 60^\circ\ \text{к берегу (против течения)}. \]
Снос. Пока мальчик пересекает реку шириной \(d = 200\) м, его относят по течению; отношение продольного смещения к поперечному равно \(\ctg 30^\circ = \sqrt3\): \[ l = d\,\ctg 30^\circ = 200\sqrt3 \approx 350\ \text{м}. \]