Какой будет продолжительность полёта самолёта из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всего полёта ветер дует под углом \(\alpha\) к трассе со скоростью \(u\)? Скорость самолёта относительно воздуха \(v\), длина трассы \(L\). При каком направлении ветра продолжительность полёта максимальна?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поперёк трассы ветер несёт со скоростью \(u\sin\alpha\); самолёт направляет нос так, чтобы поперечная составляющая его воздушной скорости была \(-u\sin\alpha\). На долю продольного движения от воздушной скорости остаётся \[ V = \sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha}. \] Путевая скорость: туда \(V + u\cos\alpha\), обратно \(V - u\cos\alpha\) (продольная часть ветра \(u\cos\alpha\) в одну сторону помогает, в другую мешает).
Время туда-обратно: \[ t = \frac{L}{V + u\cos\alpha} + \frac{L}{V - u\cos\alpha} = \frac{2LV}{V^2 - u^2\cos^2\alpha}. \] Знаменатель: \(V^2 - u^2\cos^2\alpha = v^2 - u^2\sin^2\alpha - u^2\cos^2\alpha = v^2 - u^2\): \[ t = \frac{2L\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha}}{v^2 - u^2}. \]
Когда полёт дольше всего? Знаменатель от \(\alpha\) не зависит, а числитель максимален при \(\sin\alpha = 0\): \[ t_{\max} = \frac{2Lv}{v^2-u^2} \qquad\text{— ветер вдоль трассы.} \] Интересно: любой ветер удлиняет полёт туда-обратно (\(t > 2L/v\) при любом \(\alpha\)), но продольный — сильнее всего.