По внутренней поверхности закреплённого цилиндра радиуса \(2r\) катится без проскальзывания колесо радиуса \(r\). Найдите траекторию точки обода колеса.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть центр колеса повернулся вокруг центра цилиндра \(O\) на угол \(\varphi\) (двигаясь по окружности радиуса \(2r - r = r\)). Дуга контакта на цилиндре: \(2r\varphi\); без проскальзывания столько же наматывается по ободу колеса: колесо поворачивается на \(2r\varphi/r = 2\varphi\) относительно земли… аккуратнее: относительно линии центров колесо поворачивается на \(2\varphi - \varphi = \varphi\) в обратную сторону.
Следим за отмеченной точкой \(M\): пусть в начальный момент она совпадает с точкой касания \(K_0\) на цилиндре. Когда линия центров повернулась на \(\varphi\), точка \(M\) отстоит от новой точки касания на угол \(2\varphi\) по ободу (в обратную сторону). Прямое вычисление координат: \[ x_M = r\cos\varphi + r\cos\varphi = 2r\cos\varphi,\qquad y_M = r\sin\varphi - r\sin\varphi = 0. \] Точка \(M\) всё время лежит на прямой \(y = 0\) — на диаметре цилиндра, проходящем через её начальное положение! Она гармонически «ездит» по этому диаметру от края до края.