Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах \(\alpha\) ось движется вправо? влево? Нить так длинна, что угол \(\alpha\) не меняется при движении.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Найдём расстояние от точки \(P\) до линии нити. Нить касается внутреннего цилиндра радиуса \(r\) и наклонена под углом \(\alpha\); аккуратная геометрия (или прямое вычисление) даёт \[ d = R\cos\alpha - r. \] Скорость нити (материальной точки нити на катушке) при вращении вокруг \(P\): \[ v = \omega\,d = \omega\,(R\cos\alpha - r) \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{v}{R\cos\alpha - r},\qquad u_{\text{оси}} = \omega R = \frac{vR}{R\cos\alpha - r}. \]
Куда катится? Если \(\cos\alpha > r/R\) (пологая нить), плечо положительно: катушка катится вправо, к тянущему, наматывая нить. Если \(\cos\alpha < r/R\) (крутая нить), катушка откатывается влево, разматываясь. При \(\cos\alpha = r/R\) нить проходит точно через \(P\) — катушка на грани (при идеальной нити тянуть её с постоянной скоростью в этом направлении невозможно: любое \(\omega\) не втягивает нить).