Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстояниях: \(r > R\), \(r = R\), \(r < R\). Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью \(v\). Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии \(r \neq R\) от оси колеса.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ускорение. Перейдём в систему отсчёта оси колеса — она движется равномерно, значит, инерциальная и ускорения в ней те же. В этой системе точка равномерно вращается по окружности радиуса \(r\) с угловой скоростью \(\omega = v/R\) (условие качения). Ускорение чисто центростремительное: \[ a = \omega^2 r = \frac{v^2 r}{R^2} \] — направлено всегда к оси колеса (не к точке касания!).
Радиусы кривизны. В высшей точке скорость точки складывается из скорости оси и вращательной: \(v_{\text{в}} = v + \omega r = v\,\dfrac{R+r}{R}\) (горизонтальна), а ускорение \(a = v^2r/R^2\) направлено вниз, перпендикулярно ей: \[ \rho_{\text{в}} = \frac{v_{\text{в}}^2}{a} = \frac{v^2 (R+r)^2/R^2}{v^2 r/R^2} = \frac{(R+r)^2}{r}. \] В низшей точке \(v_{\text{н}} = v\,\dfrac{|R-r|}{R}\), ускорение направлено вверх (к оси), снова перпендикулярно скорости: \[ \rho_{\text{н}} = \frac{(R-r)^2}{r}. \]