а. Скорость точки \(A\) твёрдого тела равна \(v\) и образует угол \(45^\circ\) с направлением прямой \(AB\). Скорость точки \(B\) этого тела равна \(u\). Определите проекцию скорости точки \(B\) на направление \(AB\).
б. Скорости точек \(A\) и \(B\) твёрдого тела равны \(\vec v\). Скорость точки \(C\), находящейся в плоскости прямой \(AB\) и вектора \(\vec v\), равна \(u > v\). Найдите проекцию скорости точки \(C\) на ось, перпендикулярную указанной плоскости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Проекция скорости \(A\) на прямую \(AB\): \(v\cos45^\circ\). Такова же и проекция скорости \(B\): \[ u_{AB} = v\cos45^\circ = \frac{v}{\sqrt2}. \] (Модуль \(u\) здесь не нужен — он лишь говорит, что у \(\vec u\) есть ещё и поперечная составляющая.)
б. Разложим \(\vec u = \vec u_\parallel + \vec u_\perp\) (в плоскости и перпендикулярно ей). Точка \(C\) лежит в одной плоскости с \(A\), \(B\) и \(\vec v\); прямые \(CA\) и \(CB\) — две непараллельные прямые этой плоскости. Проекция \(\vec u\) на \(CA\) равна проекции \(\vec v\) на \(CA\); то же для \(CB\). Но проекции на две непараллельные прямые плоскости однозначно задают плоскостную составляющую вектора — значит, \[ \vec u_\parallel = \vec v. \] Тогда перпендикулярная составляющая находится по Пифагору: \[ u_\perp = \sqrt{u^2 - v^2}. \]