Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.5. Движение со связями

Савченко, задача 1.5.12

Задача 1.5.12бусинка на кольце

Условие

Бусинка может двигаться по кольцу радиуса \(R\), подталкиваемая спицей, равномерно вращающейся с угловой скоростью \(\omega\) в плоскости кольца. Ось вращения спицы находится на кольце. Определите ускорение бусинки.

Вписанный угол \(\varphi\) опирается на дугу с центральным углом \(2\varphi\): бусинка обегает кольцо вдвое быстрее спицы.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Теорема о вписанном угле! Когда спица повернулась на \(\varphi\), радиус, проведённый из центра кольца к бусинке, повернулся на \(2\varphi\). Значит, бусинка движется по кольцу с удвоенной угловой скоростью \(2\omega\).

Спица выходит из точки \(O\) кольца; угол между спицей и диаметром \(OC\) — вписанный угол \(\varphi\), опирающийся на дугу от диаметра до бусинки. Центральный угол той же дуги вдвое больше: \(2\varphi\). Спица вращается равномерно: \(\varphi = \omega t\), значит, бусинка обегает кольцо с постоянной угловой скоростью \[ \Omega = 2\omega. \]

Равномерное движение по окружности радиуса \(R\) даёт чисто центростремительное ускорение: \[ a = \Omega^2 R = 4\,\omega^2 R, \] направленное к центру кольца.

Проверка. Скорость бусинки \(2\omega R\) — вдвое больше, чем у конца спицы той же длины… и правильно: бусинка «убегает» вдоль спицы, её скорость складывается из вращательной и радиальной. А ускорение постоянно по модулю — красивое следствие равномерности.

Ответ \( a = 4\omega^2 R \), к центру кольца.

Следующая задача 1.5.13 →