Верёвку, привязанную к лодке, тянут за свободный конец таким образом,
чтобы она не провисала. Лодка движется с постоянной скоростью \(v\), образуя
в некоторый момент времени угол \(\alpha\) с отрезком верёвки, находящимся
между столбом и лодкой. С какой скоростью нужно тянуть в этот момент времени
свободный конец верёвки?
К задаче 1.5.13. Верёвка перекинута через столб; лодка идёт под
углом \(\alpha\) к её натянутому отрезку.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Верёвка нерастяжима: длина отрезка «столб–лодка» изменяется со скоростью,
равной проекции скорости лодки на верёвку. С этой же скоростью надо выбирать
свободный конец.
Разложим скорость лодки \(\vec v\) на составляющую вдоль верёвки
(\(v\cos\alpha\)) и поперёк (\(v\sin\alpha\)). Поперечная составляющая лишь
поворачивает верёвку и её длины не меняет; продольная — удлиняет отрезок
«столб–лодка» со скоростью \(v\cos\alpha\).
Чтобы верёвка не провисала (и не рвалась), свободный конец надо тянуть
ровно с той же скоростью:
\[ u = v\cos\alpha. \]
Проверка. Лодка идёт вдоль верёвки
(\(\alpha = 0\)): \(u = v\) ✓. Лодка идёт по дуге вокруг столба
(\(\alpha = 90^\circ\)): верёвку тянуть не надо, \(u = 0\) ✓.