Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной \(a\). Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью \(v\). Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Рассмотрим черепаху 1, догоняющую черепаху 2. Скорость сближения — это скорость изменения расстояния между ними: \[ -\frac{\Delta l}{\Delta t} = \underbrace{v}_{\text{черепаха 1 движется точно на цель}} - \underbrace{v\cos90^\circ}_{\text{цель уходит поперёк линии}} = v. \] Скорость черепахи 2 всё время перпендикулярна стороне квадрата 1–2 (она направлена на черепаху 3), поэтому от неё расстояние 1–2 не меняется. Значит, сторона квадрата укорачивается с постоянной скоростью \(v\).
Начальная сторона \(a\), встреча — когда она стянется в нуль: \[ t = \frac{a}{v}. \] По симметрии всё время движения центр квадрата неподвижен — там черепахи и встретятся, закрутившись по красивым спиралям.