Постройте примерный график зависимости скорости точки \(B\) от времени, если скорость \(v_A\) точки \(A\) постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если \(x(0) = 0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(x = v_A t\) — глубина провисания. Длина каждой наклонной части верёвки \( \sqrt{L^2 + x^2} \). Скорость её удлинения — проекция скорости точки \(A\) (вертикальной \(v_A\)) на направление верёвки: \[ v_A\cos\theta = v_A\,\frac{x}{\sqrt{L^2+x^2}}, \] где \(\theta\) — угол между верёвкой и вертикалью… точнее, косинус угла между \(v_A\) и верёвкой равен \(x/\sqrt{L^2+x^2}\).
Удлиняются обе половины, а вся эта верёвка «выбирается» из части, держащей груз \(B\): \[ v_B = 2\,v_A\,\frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}} = \frac{2 v_A^2\,t}{\sqrt{L^2 + v_A^2 t^2}}. \]