Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью \(v\). Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчёта времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня \(L\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В момент \(t\) верхний конец на высоте \(y = vt\), нижний — на расстоянии \[ x = \sqrt{L^2 - v^2t^2} \] от угла (Пифагор). Направим ось вдоль стержня: его направление — от верхнего конца к нижнему, компоненты \((x,\ -y)/L\).
Проекции скоростей концов на стержень равны: \[ \underbrace{v\cdot\frac{y}{L}}_{\text{верхний конец}} = \underbrace{u\cdot\frac{x}{L}}_{\text{нижний конец}} \] (верхний движется вверх со скоростью \(v\), его проекция на стержень — \(v\,y/L\); нижний движется горизонтально со скоростью \(u\), проекция — \(u\,x/L\)). Отсюда \[ u = v\,\frac{y}{x} = \frac{v^2 t}{\sqrt{L^2 - v^2 t^2}}. \]
Нижний конец приближается к стене, разгоняясь: в начале (\(t=0\), стержень лежит на полу) \(u = 0\), а при \(vt \to L\) (стержень встаёт вертикально) формально \(u \to \infty\) — на деле конец оторвётся от стены раньше.