Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землёй, касается дна грузовика на высоте \(H\) от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла \(\alpha\) между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью \(v\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Точка опоры бревна о кузов находится на высоте \(H\); её горизонтальное расстояние от нижнего конца \(x\) связано с углом: \[ x = H\,\ctg\alpha. \] Грузовик отъезжает: за малое время \(\Delta t\) расстояние \(x\) вырастает на \(v\,\Delta t\), а угол уменьшается на \(\Delta\alpha\). Приращение котангенса при малом изменении угла: \[ \Delta(\ctg\alpha) = \frac{\Delta\alpha}{\sin^2\alpha} \] (по модулю; это видно из \(\ctg(\alpha-\Delta\alpha) - \ctg\alpha = \frac{\sin\Delta\alpha}{\sin\alpha\,\sin(\alpha-\Delta\alpha)} \approx \frac{\Delta\alpha}{\sin^2\alpha}\)).
Приравниваем изменение \(x\): \[ v\,\Delta t = H\,\frac{\Delta\alpha}{\sin^2\alpha} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{\Delta\alpha}{\Delta t} = \frac{v\,\sin^2\alpha}{H}. \]