Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.5. Движение со связями

Савченко, задача 1.5.18

Задача 1.5.18*★ стержень на цилиндре

Условие

Стержень, одним концом шарнирно закреплённый на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня \(\omega\). Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла \(\alpha\) между стержнем и плоскостью.

К задаче 1.5.18. Цилиндр вписан в угол между стержнем и плоскостью.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Цилиндр всё время вписан в угол \(\alpha\): расстояние от шарнира до его точки касания с полом равно \(r\,\ctg(\alpha/2)\). Когда угол растёт, цилиндр выкатывается; скорость его центра — темп изменения этого расстояния, а угловая скорость качения — скорость центра, делённая на \(r\).

Пусть \(r\) — радиус цилиндра. Центр вписанного в угол цилиндра лежит на биссектрисе, а точка касания с полом (и горизонтальная координата центра) отстоит от шарнира на \[ x = \frac{r}{\tg(\alpha/2)} = r\,\ctg\frac{\alpha}{2}. \]

Стержень опускается или поднимается с угловой скоростью \(\omega\): за \(\Delta t\) угол меняется на \(\Delta\alpha = \omega\,\Delta t\). Приращение котангенса половинного угла (как в задаче 1.5.17): \[ \Delta x = r\,\frac{\Delta(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)} = \frac{r\,\omega\,\Delta t}{2\sin^2(\alpha/2)}. \] Это скорость центра цилиндра: \( u = \dfrac{r\,\omega}{2\sin^2(\alpha/2)} \).

Цилиндр катится по полу без проскальзывания, поэтому его угловая скорость \[ \omega' = \frac{u}{r} = \frac{\omega}{2\sin^2(\alpha/2)}. \]

Проверка. При \(\alpha = 180^\circ\) (стержень «раскрыт» в продолжение пола): \(\omega' = \omega/2\) — цилиндр под серединой диаметрального стержня… разумный конечный предел. При \(\alpha \to 0\) цилиндр стремительно выкатывается из сужающейся щели: \(\omega' \to \infty\) ✓.

Ответ \( \omega' = \dfrac{\omega}{2\sin^2(\alpha/2)} \).

Следующая задача 1.5.19 →