Савченко · Глава 1. Кинематика · § 1.5. Движение со связями

Савченко, задача 1.5.19

Условие

Сферический буй радиуса \(R\) привязан ко дну водоёма. Уровень воды в водоёме поднимается со скоростью \(u\). Какова скорость перемещения границы затопленной части буя по его поверхности в момент, когда уровень воды оказывается на \(h\) выше центра буя?

Граница затопления — окружность сечения сферы уровнем воды; с приливом она сползает по поверхности вверх.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Буй привязан и не всплывает — уровень «ползёт» по нему. Подъём уровня на \(\Delta h\) сдвигает границу затопления по дуге сферы на \(\Delta s = \Delta h/\sin\theta\), где \(\theta\) — угол между радиусом к границе и вертикалью… геометрия малого сдвига по окружности.

Точка границы лежит на сфере на высоте \(h\) над центром; радиус к ней составляет с горизонталью угол \(\varphi\), причём \(\sin\varphi = h/R\). Пусть уровень поднялся на \(\Delta h\); граница сместилась по поверхности (по дуге большого круга) на \(\Delta s = R\,\Delta\varphi\). Связь: высота точки \(h = R\sin\varphi\), значит, \[ \Delta h = R\cos\varphi\,\Delta\varphi \quad\Longrightarrow\quad \Delta s = R\,\Delta\varphi = \frac{\Delta h}{\cos\varphi}. \]

Скорость границы по поверхности: \[ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{u}{\cos\varphi} = \frac{u}{\sqrt{1 - h^2/R^2}} = \frac{u\,R}{\sqrt{R^2 - h^2}}. \]

Проверка. На «экваторе» буя (\(h = 0\)) поверхность вертикальна и граница ползёт со скоростью уровня: \(v = u\) ✓. У макушки (\(h \to R\)) поверхность почти горизонтальна — граница «разбегается» стремительно: \(v \to \infty\) ✓ (последний островок буя исчезает мгновенно).

Ответ \( v = \dfrac{u R}{\sqrt{R^2 - h^2}} \).

Следующая задача 1.5.20 →