Задача 1.5.20бобина с плёнкой
Условие
Бобина магнитофонной плёнки проигрывается в течение времени \(t\) при скорости протяжки плёнки \(v\). Начальный радиус бобины (с плёнкой) равен \(R\), а конечный (без плёнки) — \(r\). Какова толщина плёнки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Не разматывать витки по одному! Сравним площади: смотанная плёнка
занимает кольцо между радиусами \(r\) и \(R\), а размотанная — длинную тонкую
полоску длиной \(vt\).
Длина плёнки: за время \(t\) при скорости \(v\) протянулось \[ \ell = v\,t. \] В торце бобины плёнка занимает кольцо площадью \(\pi(R^2 - r^2)\). Та же плёнка, вытянутая в полоску толщиной \(d\), имеет площадь сечения \(\ell\,d\) (длина на толщину). Площадь сохраняется: \[ \pi\,(R^2 - r^2) = \ell\,d = v\,t\,d \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{\pi\,(R^2 - r^2)}{v\,t}. \]
Проверка размерности: м²/(м/с·с) = м ✓.
Прикидка: кассета \(R = 25\) мм, \(r = 11\) мм, \(v = 4{,}76\) см/с,
\(t = 45\) мин: \(d = \pi(625-121)\cdot10^{-6}/(0{,}0476\cdot2700)
\approx 12\) мкм — реальная толщина магнитофонной ленты ✓.
Ответ
\( d = \dfrac{\pi\,(R^2 - r^2)}{v\,t} \).