Угловая скорость катушки равна \(\omega\), радиус внутреннего цилиндра
\(r\), а радиус внешних цилиндров \(R\). Каковы скорости оси катушки и груза
относительно земли?
Катушка катится внешними цилиндрами по рейкам; нить сматывается
с нижней части внутреннего цилиндра.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Катушка катится без проскальзывания — её мгновенная ось вращения проходит
через точку касания \(P\) с рейками. Скорость любой точки равна
\(\omega \times\) (расстояние до \(P\)); скорость нити — \(\omega \times\)
(расстояние от \(P\) до линии нити).
Ось катушки. Она отстоит от мгновенной оси \(P\) на \(R\):
\[ v_{\text{оси}} = \omega R. \]
Груз. Скорость груза равна скорости нити. Нить сходит с нижней
части внутреннего цилиндра горизонтально; расстояние от \(P\) (точки касания
с рейкой) до линии нити равно \(R - r\) (нить проходит выше рейки на
\(R - r\)). Значит,
\[ v_{\text{г}} = \omega\,(R - r). \]
Нить движется в ту же сторону, что и ось, но медленнее — катушка «съедает»
нить, догоняя её.
Проверка. При \(r \to R\) (нить на ободе):
\(v_{\text{г}} \to 0\) — нить сходит в точке касания, где скорость нулевая ✓.
При \(r \to 0\): \(v_{\text{г}} \to \omega R = v_{\text{оси}}\) — нить
закреплена на оси и едет вместе с ней ✓.