Клин, имеющий угол \(30^\circ\), лежит на горизонтальной плоскости.
Вертикальный стержень, опускающийся со скоростью \(v\), заставляет клин
скользить по этой плоскости. Какова скорость клина?
К задаче 1.5.3. Конец стержня всё время касается наклонной
грани.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Связь — «конец стержня остаётся на грани клина». За время \(\Delta t\)
стержень опустился на \(v\Delta t\), значит, точка грани под ним должна
опуститься на столько же — а грань опускается под стержнем, когда клин
уезжает.
Когда клин смещается на \(u\,\Delta t\) вправо, поверхность его грани в
данном вертикальном сечении опускается на
\[ \Delta h = u\,\Delta t\cdot\tg 30^\circ \]
(грань с углом \(30^\circ\): смещению по горизонтали на 1 отвечает понижение
на \(\tg30^\circ\)). Конец стержня не отрывается от грани:
\[ v\,\Delta t = u\,\Delta t\,\tg30^\circ
\quad\Longrightarrow\quad
u = \frac{v}{\tg30^\circ} = v\sqrt3 \approx 1{,}7\,v. \]
Проверка. Пологий клин (\(\alpha\) мало) выигрывает
в скорости: \(u = v\,\ctg\alpha \gg v\) — так работает раскалывание полена
клином «наоборот». При \(\alpha = 45^\circ\) скорости равны ✓.
Ответ
\( u = v\,\ctg30^\circ = v\sqrt3 \approx 1{,}7\,v \).