Металлический стержень \(AB\), сопротивление единицы длины которого \(\rho\), движется с постоянной скоростью \(v\), перпендикулярной \(AB\), замыкая два идеальных проводника \(OC\) и \(OD\), образующих друг с другом угол \(\alpha\). Длина \(OC\) равна \(l\) и \(AB\perp OC\). Вся система находится в однородном постоянном магнитном поле индукции \(B\), перпендикулярном плоскости системы. Найдите полное количество теплоты, которое выделится в цепи за время движения прута от точки \(O\) до точки \(C\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(x\) — расстояние от \(O\) до точки \(B\) вдоль \(OC\), \(\dot x=v\). Длина прута \(AB=x\operatorname{tg}\alpha\), площадь контура
\[ S=\frac12 x\cdot x\operatorname{tg}\alpha=\frac12 x^2\operatorname{tg}\alpha,\qquad \Phi=BS=\frac12 Bx^2\operatorname{tg}\alpha. \]ЭДС и сопротивление (рельсы идеальные, сопротивляется только прут):
\[ \mathcal{E}=\dot\Phi=Bxv\operatorname{tg}\alpha,\qquad R=\rho\,x\operatorname{tg}\alpha,\qquad I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{Bv}{\rho}. \]Ток не зависит от \(x\)! Мощность
\[ I^2R=\frac{B^2v^2}{\rho^2}\cdot\rho x\operatorname{tg}\alpha=\frac{B^2v^2}{\rho}\,x\operatorname{tg}\alpha. \]За время \(\mathrm{d}t=\mathrm{d}x/v\)
\[ \mathrm{d}W=I^2R\,\mathrm{d}t=\frac{B^2v}{\rho}\,x\operatorname{tg}\alpha\,\mathrm{d}x. \]От \(x=0\) до \(x=l\):
\[ W=\frac{B^2v\operatorname{tg}\alpha}{\rho}\int_0^l x\,\mathrm{d}x=\frac{B^2l^2v\operatorname{tg}\alpha}{2\rho}. \]