По проводящей ленте ширины \(d\) течёт ток \(I\). Лента находится в магнитном поле индукции \(B\). Направление поля перпендикулярно её плоскости. Найдите разность потенциалов между точками 1 и 2 ленты, если её толщина равна \(h\), а объёмная плотность заряда носителей тока на ней равна \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сечение ленты \(d\times h\), объёмная плотность заряда носителей \(\rho\), поэтому ток
\[ I=\rho\cdot v\cdot d\cdot h\qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{I}{\rho dh}. \]В поперечном поле сила Лоренца \(qvB\) уравновешивается холловским полем:
\[ E_H=vB=\frac{IB}{\rho dh}. \]Точки 1 и 2 — на противоположных длинных краях, расстояние между ними \(d\):
\[ V=E_H d=\frac{IB}{\rho h}. \]Ширина сократилась: чем шире лента, тем меньше \(v\) при том же токе, и ровно во столько же растёт путь, по которому мы интегрируем \(E_H\).
Плотность \(\rho\) здесь — объёмная плотность заряда носителей, не удельное сопротивление. Для электронов \(\rho=-ene\), и знак \(V\) противоположен \([\mathbf{j}\times\mathbf{B}]\). Толщина \(h\) — размер вдоль \(B\): чем тоньше лента, тем выше дрейфовая скорость и тем больше холловское напряжение. На этом стоит датчик Холла в тонкой плёнке.