В трубе прямоугольного сечения \(a\times b\) находится газ плотности \(\rho\). Вертикальные стенки трубы — изоляторы, горизонтальные — электроды. В одном из концов трубы зажигают разряд, после чего ток \(I\) поддерживается постоянным. Возникшая область горения разряда магнитными силами вталкивается внутрь трубы, «сгребая» перед собой газ. Определите установившуюся скорость плазменной «пробки», считая, что она все время больше скорости звука в газе. Магнитное поле индукции \(B\) перпендикулярно вертикальным стенкам трубы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ток течёт между горизонтальными электродами (путь \(a\)), поле перпендикулярно вертикальным стенкам. Сила на пробку
\[ F=IaB \]и направлена вдоль трубы. Сечение трубы \(A=ab\). За время \(\mathrm{d}t\) пробка захватывает массу \(\mathrm{d}m=\rho A v\,\mathrm{d}t\) и разгоняет её от нуля до \(v\) (неупругое «прилипание» — как снегоочиститель). Поток импульса
\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=v\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=\rho ab\,v^2. \]В установившемся режиме \(F=\mathrm{d}p/\mathrm{d}t\):
\[ IaB=\rho ab\,v^2\qquad\Longrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{IB}{\rho b}}. \]Высота \(a\) сократилась: и сила, и сечение ей пропорциональны. Условие «быстрее звука» нужно, чтобы впереди не было предвестника — сжатый газ не убегал бы от пробки по звуковым характеристикам, и модель снегоочистителя работала.