Тонкое проводящее кольцо помещено в магнитное поле \(B\), перпендикулярное плоскости кольца. Радиус кольца увеличивается с постоянной скоростью \(v\). Определите зависимость тока в кольце от времени, если в начальный момент сопротивление кольца \(R_0\), а радиус кольца \(r_0\). Плотность и проводимость материала кольца при растяжении не меняются.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Радиус в момент \(t\): \(r=r_0+vt\). Поток \(\Phi=B\pi r^2\),
\[ \mathcal{E}=\dot\Phi=2\pi r Bv. \]Объём материала \(V=2\pi r\cdot s=\text{const}\), поэтому сечение \(s=s_0 r_0/r\). Удельное сопротивление не меняется (проводимость постоянна), значит
\[ R=\varrho_{\text{уд}}\frac{2\pi r}{s}=R_0\Bigl(\frac{r}{r_0}\Bigr)^2, \]потому что \(R_0=\varrho_{\text{уд}}2\pi r_0/s_0\) и \(s/s_0=r_0/r\). Ток
\[ I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{2\pi r Bv}{R_0(r/r_0)^2}=\frac{2\pi r_0^2 Bv}{R_0 r}=\frac{2\pi r_0^2 Bv}{R_0(r_0+vt)}. \]Масса кольца постоянна (плотность не меняется, объём не меняется), поэтому утоньшение — единственная причина роста \(R\). Если бы растягивали резиновую трубку с ртутью, проводимость могла бы ещё и упасть от деформации; здесь материал «честный»: \(\lambda=\mathrm{const}\).
Направление тока — против нарастания потока (Ленц): кольцо норовит сжаться. Чтобы радиус рос равномерно, внешняя сила должна эту стяжку пересиливать.