Савченко · Глава 11. Электромагнитная индукция · § 11.1. Движение проводников в постоянном магнитном поле. Электродвигатели

Савченко, задача 11.1.20

↑ задача в главе

Задача 11.1.20разгон перемычки: R и C

Условие

Определите в задаче 11.1.19 зависимость скорости проводника от времени при нулевой начальной скорости в случае, когда верхние концы реек замкнуты: а) на сопротивление \(R\); б) на ёмкость \(C\).

К задаче 11.1.20. Слева — экспонента к \(v_\infty\); справа — конденсатор даёт добавку к инерции.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея С резистором сила Ампера \(\propto v\), это линейное трение — экспонента. С конденсатором заряд \(\propto v\), ток \(\propto a\), сила Ампера \(\propto a\) — она просто увеличивает массу, ускорение постоянно.

а. Из 11.1.19

\[ m\dot v=mg-\frac{B^2l^2}{R}v. \]

Это \(\dot v+(1/\tau)v=g\), где \(\tau=mR/(B^2l^2)\). Решение с \(v(0)=0\):

\[ v(t)=\frac{mgR}{B^2l^2}\Bigl(1-\exp\bigl(-B^2l^2 t/(mR)\bigr)\Bigr). \]

б. На конденсаторе \(q=C\mathcal{E}=CBlv\). Ток \(I=\dot q=CBl\,\dot v\). Сила Ампера \(IlB=CB^2l^2\dot v\) направлена вверх. Уравнение

\[ m\dot v=mg-CB^2l^2\dot v\qquad\Longrightarrow\qquad \dot v=\frac{mg}{m+CB^2l^2}. \]

Ускорение постоянно, с нуля

\[ v(t)=\frac{mgt}{m+CB^2l^2}. \]

Конденсатор «утяжелил» перемычку на электромагнитную массу \(CB^2l^2\): энергия конденсатора \(q^2/(2C)=(C/2)B^2l^2v^2\) выглядит в точности как \(\frac12 m_{\text{эм}}v^2\).

Проверка. При \(t\to\infty\) в (а) выходим на полку 11.1.19. При \(C=0\) в (б) получаем свободное падение \(v=gt\). При \(R\to0\) в (а) \(\tau\to0\), перемычка почти сразу замирает — сверхпроводящий контур поток не пускает. Размерность добавки \(CB^2l^2\): \(\text{Ф}\cdot\text{Тл}^2\cdot\text{м}^2=\text{кг}\).

Ответа) \(v(t)=\dfrac{mgR}{B^2l^2}\bigl[1-\exp(-B^2l^2 t/(mR))\bigr]\); б) \(v(t)=gtm/(m+CB^2l^2)\).

Следующая задача 11.1.21 →