В осесимметричном магнитном поле тело можно ускорять, поддерживая в витке, связанном с телом и ориентированном перпендикулярно оси симметрии поля, постоянный ток \(I\). Докажите, что приращение кинетической энергии тела вместе с витком пропорционально приращению магнитного потока через виток, и найдите коэффициент пропорциональности.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Осесимметричное поле, виток перпендикулярен оси. Поток \(\Phi(z)\) зависит только от координаты вдоль оси. Осевую силу создаёт радиальная составляющая поля: сила Ампера \(I\,\mathrm{d}l\,B_r\) у всех элементов витка смотрит в одну сторону вдоль оси, всего \(F_z=I\cdot2\pi r\,B_r\).
Свяжем \(B_r\) с потоком. Линии индукции непрерывны: для тонкого цилиндра между сечениями \(z\) и \(z+\Delta z\) приращение осевого потока \(\Delta\Phi\) компенсируется потоком через боковую поверхность \(2\pi r B_r\,\Delta z\). Отсюда \(2\pi r\,B_r=\Delta\Phi/\Delta z\) (по модулю), и
\[ F_z=I\,\frac{\Delta\Phi}{\Delta z}. \]Работа на перемещении \(\Delta z\):
\[ \Delta A=F_z\,\Delta z=I\,\Delta\Phi. \]Внешних сил кроме магнитной нет (или они учтены в «теле вместе с витком»), поэтому \(\Delta K=\Delta A\); складывая шаги вдоль пути, получаем
\[ \Delta K=I\,\Delta\Phi. \]Коэффициент пропорциональности \(k=I\). Источник, поддерживающий ток, как раз совершает работу \(I\Delta\Phi\) против индукционной ЭДС — она-то и приходит в кинетическую энергию.
Это тот же рельсотрон, только в криволинейном поле: роль \(BIl\,\Delta x\) играет \(I\,\Delta\Phi\). Если ток не держать, а дать контуру замкнуться накоротко, вмороженный поток не пустит тело в область сильного поля — сверхпроводящее кольцо отскочит (см. § 11.5). Здесь ток кормят снаружи, и путь открыт.