В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса \(a\) и массы \(m\). Сопротивление кольца \(R\). Плоскость кольца всё время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону \(B=B_0(1+\alpha h)\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поток через кольцо \(\Phi=B_0(1+\alpha h)\pi a^2\). За время \(\Delta t\) падающее кольцо опускается на \(\Delta h=v\Delta t\), и поток меняется на \(\Delta\Phi=B_0\alpha\pi a^2\Delta h\). ЭДС индукции и ток
\[ \mathcal{E}=\Bigl|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\Bigr|=B_0\alpha\pi a^2 v,\qquad I=\frac{B_0\alpha\pi a^2 v}{R}. \]Силу проще всего взять из баланса мощности: джоулево тепло равно работе магнитной силы,
\[ I^2R=F_{\text{маг}}v\qquad\Longrightarrow\qquad F_{\text{маг}}=\frac{(B_0\alpha\pi a^2)^2}{R}\,v. \]То же из 11.1.21: \(F=I\,|\Delta\Phi/\Delta h|=I\cdot B_0\alpha\pi a^2\). В установившемся режиме \(mg=F_{\text{маг}}\):
\[ v=\frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha)^2}. \]Знак \(\alpha\) важен только для направления тока: сила всегда против скорости (Ленц). Если \(\alpha>0\) и кольцо падает вниз (в меньшее \(B\)), ток борется с убылью потока и создаёт момент/силу вверх. Если поле растёт вниз, ток другой, сила снова вверх.
С большой высоты — чтобы успела установиться скорость и чтобы \(B=B_0(1+\alpha h)\) можно было считать локально линейным на размере кольца (\(a|\alpha|\ll1\)). Иначе разные точки обода чувствуют разный \(B\), и наша формула \(\Phi=B\pi a^2\) чуть плывёт.