В поле тяжести помещено вертикально металлическое кольцо. Металлический стержень длины \(L\) и массы \(m\) шарнирно закреплён в центре кольца и касается его другим концом. Однородное магнитное поле индукции \(B\) перпендикулярно плоскости кольца. По какому закону надо менять ток в стержне, чтобы стержень вращался равномерно с угловой скоростью \(\omega\), если в начальный момент стержень находился в верхнем положении? Трением пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Центр масс стержня — на середине, рычаг силы тяжести равен \((L/2)\sin\varphi\), где \(\varphi\) — угол с вертикалью вверх. Момент тяжести относительно шарнира
\[ M_g=mg\cdot\frac L2\sin\varphi. \]Ток \(I\) в стержне, поле \(B\) перпендикулярно плоскости: сила Ампера \(F=ILB\) лежит в плоскости кольца и перпендикулярна стержню. Её момент (сила распределена равномерно, плечо \(L/2\))
\[ M_A=ILB\cdot\frac L2=\frac12 IBL^2. \]Для \(\dot\omega=0\) нужно \(M_A=M_g\):
\[ \frac12 IBL^2=\frac12 mgL\sin\varphi\qquad\Longrightarrow\qquad I=\frac{mg}{BL}\sin\varphi. \]Стартуем сверху, \(\varphi=\omega t\), поэтому \(I=(mg/BL)\sin\omega t\). В ответах книги стоит \(\cos\omega t\): это та же зависимость, если нуль времени поставить в горизонтальное положение стержня (тогда в верхнем положении \(\omega t=\pi/2\), \(\cos=0\), ток нуль — как и должно быть). Мы держим начало отсчёта, как сказано в условии, и пишем синус; печатный косинус — сдвиг фазы на \(\pi/2\).