На рисунке изображена модель двигателя постоянного тока. ЭДС батареи \(E\), индукция магнитного поля \(B\), сопротивление цепи \(R\), длина перемычки \(L\).
а. Определите установившуюся угловую скорость перемычки и ток в цепи, если сила трения в подвижном контакте \(F\).
б\(^*\). Найдите зависимость угловой скорости перемычки от времени, если её начальная скорость равна нулю, а трением можно пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Поток через контур-сектор \(\Phi=B\cdot\frac12 L^2\theta\), индукционная ЭДС \(\mathcal{E}_{\text{инд}}=\frac12 BL^2\omega\). Закон Ома:
\[ E-\frac12 BL^2\omega=IR. \]Сила Ампера на перемычку \(ILB\), плечо \(L/2\), момент \(M_A=\frac12 IBL^2\). Момент трения в контакте на ободе \(M_{\text{тр}}=FL\). В установившемся режиме
\[ \frac12 IBL^2=FL\qquad\Longrightarrow\qquad I=\frac{2F}{BL}. \]Подставляем в закон Ома:
\[ E-\frac12 BL^2\omega=\frac{2FR}{BL},\qquad \omega_{\text{уст}}=\frac{2E}{BL^2}\Bigl(1-\frac{2FR}{BEL}\Bigr). \]б. Трения нет, \(I=(E-\frac12 BL^2\omega)/R\). Момент инерции однородного стержня относительно конца \(J=mL^2/3\):
\[ \frac{mL^2}{3}\dot\omega=\frac12 IBL^2=\frac{BL^2}{2R}\Bigl(E-\frac12 BL^2\omega\Bigr). \]Это \(\dot\omega=(\omega_\infty-\omega)/\tau\) с \(\omega_\infty=2E/(BL^2)\) и \(\tau=4mR/(3B^2L^2)\). При \(\omega(0)=0\)
\[ \omega(t)=\frac{2E}{BL^2}\Bigl[1-\exp\Bigl(-\frac{3B^2L^2}{4mR}\,t\Bigr)\Bigr]. \]