На оси \(O\) шарнирно закреплена одной стороной квадратная проволочная рамка, размеры которой \(a\times a\). Вокруг этой же оси вращается с угловой скоростью \(\omega_0\) магнит, создающий в области, где расположена рамка, радиальное магнитное поле. Определите угловую скорость рамки, если сопротивление единицы её длины \(\rho\), момент силы трения \(M\), а индукция магнитного поля у свободного края рамки \(B\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле радиальное, поэтому на радиальных сторонах \([\mathbf{v}\times\mathbf{B}]\) не даёт ЭДС вдоль провода. Вся ЭДС — на свободном крае (длина \(a\), скорость относительно поля \(\omega_{\text{отн}}a\), \(B\) как раз там и задано):
\[ \mathcal{E}=B\cdot a\cdot(\omega_0-\omega)a=Ba^2(\omega_0-\omega). \]Сопротивление рамки \(R=4a\rho\), ток \(I=\mathcal{E}/R=Ba(\omega_0-\omega)/(4\rho)\). Сила Ампера на внешнюю сторону \(F=IaB\), момент
\[ M_A=Fa=IBa^2=\frac{B^2a^3(\omega_0-\omega)}{4\rho}. \]Установившееся вращение: \(M_A=M\),
\[ \omega_0-\omega=\frac{4M\rho}{a^3B^2}\qquad\Longrightarrow\qquad \omega=\omega_0-\frac{4M\rho}{a^3B^2}. \]Рамка отстаёт от магнита — как ротор асинхронной машины под нагрузкой. Скольжение пропорционально моменту трения.