Металлический брусок, размеры которого \(a\times b\times c\) (\(b\ll a,c\)), движется со скоростью \(v\) в магнитном поле индукции \(B\) так, как показано на рисунке. Найдите разность потенциалов между боковыми сторонами бруска и поверхностную плотность зарядов на них.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила Лоренца на заряд \(q\) равна \(qvB\) и направлена поперёк тонкого размера \(b\). Заряды перетекают на грани площади \(a\times c\), пока электрическая сила \(qE\) не уравновесит лоренцеву:
\[ E=vB. \]Разность потенциалов между этими гранями
\[ V=Eb=vbB. \]Брусок тонкий (\(b\ll a,c\)), поэтому поле внутри почти однородно и связано с поверхностной плотностью так же, как в плоском конденсаторе: разрыв нормальной компоненты \(D\) даёт \(\sigma=\varepsilon_0 E\) (снаружи поле быстро падает). Итак
\[ \sigma=\varepsilon_0 vB. \]Заметьте: в \(V\) вошла толщина \(b\), а в \(\sigma\) — нет. Плотность заряда фиксируется самим полем \(E=vB\), а напряжение — это это поле, умноженное на зазор.