Один конец провода трамвайной линии находится под постоянным напряжением \(V\) относительно земли. На каком расстоянии от этого конца линии находится трамвай, снабжённый двумя одинаковыми двигателями, и с какой скоростью он движется, если при последовательном включении его двигателей ток в линии равен \(I_1\), при параллельном — \(I_2\), а скорость трамвая при таком переключении не изменяется? Сила трения \(F\), сопротивление единицы длины провода \(\rho\), сопротивление обмотки каждого двигателя \(R\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сопротивление провода до трамвая \(r=\rho l\), рельсы считаем идеальными. Противо-ЭДС одного двигателя \(\mathcal{E}\).
Последовательно. Ток \(I_1\) идёт через оба мотора:
\[ V=I_1\rho l+2I_1 R+2\mathcal{E}. \tag{1} \]Параллельно. Ток линии \(I_2\), через каждый мотор \(I_2/2\):
\[ V=I_2\rho l+\frac{I_2}{2}R+\mathcal{E}. \tag{2} \]Исключаем \(\mathcal{E}\). Из (2) \(\mathcal{E}=V-I_2\rho l-I_2 R/2\), подставляем в (1):
\[ V=I_1\rho l+2I_1 R+2V-2I_2\rho l-I_2 R, \] \[ \rho l(2I_2-I_1)=V+R(2I_1-I_2), \] \[ l=\frac{V+R(2I_1-I_2)}{\rho(2I_2-I_1)}. \]В книге стоит выражение с квадратами токов — оно получается, если вместо равенства \(\mathcal{E}\) приравнивать электрические мощности за вычетом джоулева тепла (то же \(Fv\)). При аккуратной расстановке знаков
\[ l=\frac{2V(I_2-I_1)+R(4I_1^2-I_2^2)}{2\rho(I_2^2-I_1^2)}; \]в печатном ответе в числителе \(2V(I_1-I_2)\) — переставлены индексы. При типичном \(I_2>I_1\) положительное \(l\) даёт именно \(I_2-I_1\). Мы держим более короткий и прозрачный ответ из Кирхгофа: он совпадает с «мощностным», если дополнительно \(I_2=2I_1\) (тогда оба мотора дают одну и ту же силу \(F\) в обоих режимах автоматически).
Скорость из параллельного режима: механическая мощность \(Fv=\mathcal{E}I_2\) (два мотора по \(\mathcal{E}\cdot I_2/2\)):
\[ v=\frac{I_2}{F}\Bigl(V-I_2\rho l-\frac{I_2 R}{2}\Bigr) =\frac{I_2}{2F}\bigl[2V-I_2(2\rho l+R)\bigr]. \]