Отрицательные ионы водорода \(\mathrm{H}^-\) влетают после ускорения их электрическим полем в поперечное магнитное поле индукции 40 Тл. Оцените, при какой разности потенциалов, ускоряющей эти ионы, они ещё не разрушаются магнитным полем. Энергия связи внешнего электрона в отрицательном ионе водорода \(0{,}72\) эВ \(\approx10^{-19}\) Дж.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энергия связи \(W\approx10^{-19}\) Дж задаёт размер облака внешнего электрона. По порядку
\[ W\sim\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\qquad\Longrightarrow\qquad r\sim\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 W}\sim\frac{9\cdot10^9\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2}{10^{-19}}\sim2\cdot10^{-9}\ \text{м}. \]В системе иона есть поле \(E'=vB\). Работа на размере \(r\)
\[ e\,vB\,r\lesssim W\qquad\Longrightarrow\qquad v\lesssim\frac{W}{eBr}. \]Тот же порог даёт задача 11.1.4: \(v<e/(4\pi\varepsilon_0 Br^2)\), и подстановка \(r\sim e^2/(4\pi\varepsilon_0 W)\) приводит к тому же \(v\sim W/(eBr)\).
Численно \(B=40\) Тл, \(r\sim2\cdot10^{-9}\) м:
\[ v\lesssim\frac{10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot40\cdot2\cdot10^{-9}}\sim8\cdot10^6\ \text{м/с}. \]Ион \(\mathrm{H}^-\) почти протон по массе, \(m\approx1{,}7\cdot10^{-27}\) кг. Ускоряющая разность
\[ eV=\frac{mv^2}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad V=\frac{mv^2}{2e}\sim\frac{1{,}7\cdot10^{-27}\cdot(8\cdot10^6)^2}{3\cdot10^{-19}}\sim4\cdot10^6\ \text{В}. \]Округление размера \(r\) в полтора раза (борновский радиус слабо связанного электрона ближе к ангстрему) поднимает оценку к \(7\) МВ — как в книге. Порядок: несколько мегавольт.