Прямоугольная рамка, размеры которой \(a\times b\), помещена в магнитное поле индукции \(B\), причём в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. Рамка вращается с угловой скоростью \(\omega\).
а. Постройте график зависимости тока, текущего в рамке, от времени. Сопротивление рамки \(R\).
б. Как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания постоянной скорости вращения рамки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. В момент \(t=0\) плоскость рамки перпендикулярна \(B\), нормаль вдоль поля, \(\Phi(0)=Bab\). При равномерном вращении
\[ \Phi=Bab\cos\omega t,\qquad \mathcal{E}=-\dot\Phi=Bab\,\omega\sin\omega t,\qquad I=\frac{Bab\,\omega}{R}\sin\omega t. \]График — синусоида с амплитудой \(Bab\omega/R\) и нулём в начальный момент (поток тогда экстремален, \(\dot\Phi=0\)).
б. Момент амперовых сил на рамку с током \(M_{\text{А}}=ISB\sin\theta\), где \(\theta=\omega t\) — угол между нормалью и \(B\), \(S=ab\):
\[ M_{\text{А}}=I\cdot ab\cdot B\sin\omega t=\frac{B^2a^2b^2\omega}{R}\sin^2\omega t. \]По правилу Ленца этот момент направлен против вращения. Чтобы угловая скорость не менялась, внешний момент должен быть равен ему по модулю и противоположен по знаку:
\[ M(t)=\frac{a^2b^2B^2\omega}{R}\sin^2\omega t. \]Среднее за период \(\langle\sin^2\rangle=1/2\), средняя мощность \(M\omega=\mathcal{E}_{\text{эфф}}^2/R\) — энергия, которую мы вкладываем валом, уходит в джоулево тепло.