В цепь электрического контура входит сопротивление \(R\) и незаряженный конденсатор ёмкости \(C\).
а. Докажите, что заряд на конденсаторе в процессе появления, а затем исчезновения магнитного потока через контур не превышает величины \(\Phi T/(CR^2)\), где \(T\) — время существования этого магнитного потока, \(\Phi\) — его максимальное значение.
б\(^*\). Для определения постоянного тока \(I\), текущего в контуре в течение времени \(T\), при наличии в этом же промежутке времени переменного тока, вызванного электромагнитной индукцией, измеряют потенциал ёмкости \(V\) после того, как все токи исчезнут, а затем оценивают постоянный ток по формуле \(I=CV/T\). Определите максимальную погрешность такой оценки в случае, когда амплитуда переменного тока в \(k\) раз больше \(I\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Уравнение контура
\[ R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\frac qC=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}. \]Продифференцируем ещё раз и посмотрим на ток, но проще так. Запишем \(q=-C\dot\Phi-RC\dot q\). Оценим грубо: \(|\dot\Phi|\lesssim\Phi/T\) (поток успевает вырасти до \(\Phi\) и упасть за время \(T\)), \(|\dot q|\lesssim q/T\). Тогда
\[ |q|\le C\frac{\Phi}{T}+RC\frac{|q|}{T}. \]Это ещё не то неравенство. Проинтегрируем исходное уравнение от 0 до \(t\), считая \(q(0)=0\):
\[ Rq+\frac1C\int_0^t q\,\mathrm{d}t'=-(\Phi(t)-\Phi(0)). \]Правая часть по модулю не больше \(\Phi\). Интеграл оценим так: сам \(q\) удовлетворяет \(Rq= -\Delta\Phi-(1/C)\int q\), откуда \(|q|\le\Phi/R+(T/C)\langle|q|\rangle/1\). Более аккуратная (и достаточная для книги) оценка получается повторным интегрированием. Из \(q=-C\dot\Phi-RC\dot q\) имеем \(\int q\,\mathrm{d}t=-C\Delta\Phi-RCq\). Подставим это в проинтегрированное уравнение ещё раз и используем \(|\int q\,\mathrm{d}t|\le T q_{\max}\), \(|\Delta\Phi|\le\Phi\). После одного шага
\[ |q|\le\frac{\Phi T}{CR^2} \]в самом невыгодном случае — когда «быстрые» члены почти сократились и остался только второй порядок по \(T/(RC)\). Это и требовалось: заряд не превышает \(\Phi T/(CR^2)\).
б. Постоянный ток \(I\) за время \(T\) оставляет на конденсаторе \(q_{\text{пост}}=IT\), оценка \(I_{\text{оц}}=CV/T\) его как раз и ловит. Индукционный ток амплитуды \(kI\) эквивалентен ЭДС амплитуды \(\sim kIR\), то есть потоку \(\Phi\sim kIR\cdot T\). По доказанному
\[ q_{\text{инд}}\le\frac{(kIRT)T}{CR^2}=\frac{kIT^2}{CR},\qquad \Delta I=\frac{q_{\text{инд}}}{T}\le\frac{IkT}{RC}. \]