Электромагнитная пушка состоит из двух длинных пластин, которые замыкаются металлической поперечной планкой массы \(m\), имеющей скользящие контакты с пластинами. Расстояние между пластинами \(h\). Ширина пластин \(d\) меньше длины планки, но существенно больше \(h\).
а. Как должно меняться во времени напряжение, подаваемое на пластины с левой стороны, чтобы планка двигалась вправо с постоянным ускорением \(a\)? с ускорением \(bt^2\)?
б. Как должно меняться напряжение, подаваемое на пластины ширины 10 см, расположенные на расстоянии 1 см, чтобы на длине 1 м ускорить планку массы 10 г до первой космической скорости при её равномерном ускорении? при ускорении, которое пропорционально квадрату времени?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Между пластинами \(B=\mu_0 I/d\) (два встречных листа), поток \(\Phi=B\cdot h\cdot x=\mu_0 I hx/d\), погонная индуктивность
\[ \alpha=\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}x}=\frac{\mu_0 h}{d}. \]Сила из энергии \(U=LI^2/2\): \(F=\frac12 I^2\alpha\). Для ускорения \(a\)
\[ \frac12 I^2\alpha=ma\qquad\Longrightarrow\qquad I=\sqrt{\frac{2ma}{\alpha}}. \]Постоянное \(a\). Ток постоянен, \(x=at^2/2\), \(v=at\),
\[ V=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\alpha x I)=\alpha I v=\alpha I at=t\sqrt{2\mu_0 m a^3\frac hd}. \](Размерность сходится только с \(h/d\) под корнем, не с \(1/(hd)\): в книге, судя по числу \(8{,}7\cdot10^8\), потерян множитель \(h\).)
Ускорение \(a=bt^2\). Тогда \(I=t\sqrt{2mb/\alpha}\), \(v=bt^3/3\), \(x=bt^4/12\). Оба вклада растут как \(t^4\):
\[ V=\alpha\frac{\mathrm{d}(xI)}{\mathrm{d}t}=\alpha\bigl(vI+x\dot I\bigr) =\alpha\sqrt{\frac{2mb}{\alpha}}\,b\,t^4\Bigl(\frac13+\frac1{12}\Bigr) =\frac{5}{12}\,t^4\sqrt{2\mu_0 m b^3\,\frac hd}. \](В книге для этого пункта напечатано \(t^3\sqrt{32\mu_0 mb^2/(9hd)}\) — выражение не проходит по размерности и по степени \(t\): оба вклада, \(vI\) и \(x\dot I\), дают \(t^4\), а под корнем должно стоять \(b^3\) и \(h/d\).)
б. \(d=0{,}10\) м, \(h=0{,}01\) м, \(s=1\) м, \(m=0{,}01\) кг, \(v=7{,}9\cdot10^3\) м/с. При равномерном ускорении \(a=v^2/(2s)=3{,}12\cdot10^7\) м/с\(^2\),
\[ \frac V t=\sqrt{2\mu_0 m a^3\frac hd}\approx8{,}7\cdot10^6\ \text{В/с}. \]В книге \(8{,}7\cdot10^8\) — ровно в \(1/h=100\) раз больше, та же потеря \(h\) в формуле. Для \(a=bt^2\) подбираем \(b\) из \(v=bT^3/3\), \(s=bT^4/12\): деление даёт \(T=4s/v=5{,}1\cdot10^{-4}\) с и \(b=3v/T^3=1{,}8\cdot10^{14}\) м/с\(^4\). Тогда
\[ V_2=\frac{5}{12}\sqrt{2\mu_0 m b^3\,\frac hd}\;t^4\approx(5{,}2\cdot10^{16}\ \text{В/с}^4)\,t^4. \]В книге здесь стоит \((1{,}2\cdot10^{14}\ \text{В/с}^3)\,t^3\) — с той же потерей \(h\) и неверной степенью \(t\). Масштаб у нашей формулы разумный: к концу разгона, при \(t=T\), она даёт \(V_2(T)\approx3{,}4\) кВ — того же порядка, что \(V_1\) в конце равномерного разгона.