Плоская спираль с очень большим числом витков \(n\) и наружным радиусом \(r\) находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости спирали и изменяется по закону \(B=B_0\cos\omega t\). Найдите ЭДС индукции в спирали. Расстояние между витками спирали одно и то же.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
\(\dot B=-B_0\omega\sin\omega t\). \(k\)-й виток даёт
\[ \mathcal{E}_k=\pi r_k^2 B_0\omega\sin\omega t=\pi r^2 B_0\omega\sin\omega t\cdot\frac{k^2}{n^2}. \]Сумма
\[ \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\approx\frac{n^3}{3} \]при \(n\gg1\). Полная ЭДС
\[ \mathcal{E}=\pi r^2 B_0\omega\sin\omega t\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n^3}{3} =\frac{\pi r^2}{3}\,n B_0\omega\sin\omega t. \]Средний виток имеет радиус \(r/\sqrt3\), не \(r/2\): площадь весит как \(r^2\), и внешние витки важнее.
Непрерывный предел: число витков в кольце \(\mathrm{d}\xi\) есть \(n\,\mathrm{d}\xi/r\), \(\mathrm{d}\mathcal{E}=\dot B\cdot\pi\xi^2\cdot n\,\mathrm{d}\xi/r\), интеграл от 0 до \(r\) снова даёт \(\pi r^2 n\dot B/3\). Если шаг спирали не постоянен (архимедова vs. логарифмическая), коэффициент будет другим — условие «расстояние между витками одно и то же» как раз фиксирует архимедову спираль.