На непроводящем кольце массы \(m\) и радиуса \(r\) равномерно распределён заряд \(q\). Кольцо может свободно вращаться вокруг своей оси. В начальный момент кольцо покоится. В центральной области кольца радиуса \(l<r\) имеется перпендикулярное плоскости кольца магнитное поле, индукция которого равномерно уменьшается до нуля. Какую угловую скорость приобретёт кольцо к моменту исчезновения поля? Изменится ли результат, если индукция \(B\) будет уменьшаться до нуля неравномерно? Индукцией магнитного поля, создаваемой вращающимся кольцом, пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
За время \(\Delta t\) поток меняется на \(\Delta\Phi=\pi l^2\Delta B\), и на окружности кольца появляется вихревое поле:
\[ 2\pi r E=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=-\pi l^2\frac{\Delta B}{\Delta t}\qquad\Longrightarrow\qquad E=-\frac{l^2}{2r}\cdot\frac{\Delta B}{\Delta t}. \]Момент силы, действующей на весь заряд \(q\):
\[ M=qEr=-q\frac{l^2}{2}\cdot\frac{\Delta B}{\Delta t}. \]Момент инерции кольца \(J=mr^2\); за шаг \(\Delta t\) угловая скорость прирастает на \(\Delta\omega=M\Delta t/J\):
\[ mr^2\,\Delta\omega=-q\frac{l^2}{2}\,\Delta B. \]Время выпало уже на этом шаге. Складываем шаги от \(B\) до \(0\), начиная с \(\omega=0\):
\[ \omega=\frac{qBl^2}{2mr^2}. \]Закон \(B(t)\) выпал: важен только полный перепад потока. Неравномерное выключение даёт то же \(\omega\).
Можно думать про канонический момент: \(L_{\text{кан}}=mr^2\omega+qA_\theta r\), а \(A_\theta=\Phi/(2\pi r)=Bl^2/(2r)\). Пока кольцо непроводящее и заряд сидит на месте, \(L_{\text{кан}}\) сохраняется (вихревое поле, возникающее при изменении потока, как раз и меняет механический момент). Отсюда сразу \(\omega=qBl^2/(2mr^2)\).