Вне цилиндра радиуса \(r_0\) индукция однородного магнитного поля нарастает линейно во времени: \(B=\alpha t\). Как должна меняться во времени индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра, чтобы электрон двигался по окружности радиуса \(r>r_0\)? При \(t=0\) электрон покоится.
К задаче 11.2.15. Орбита снаружи цилиндра; внутреннее поле крутит электрон вихревым \(E\), наружное держит на круге.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
На орбите центростремительную силу даёт наружное поле: \(p=eB_{\text{нар}}r\). Разгон — вихревое \(E\), в которое входит и \(\dot B_{\text{вн}}\), и \(\dot B_{\text{нар}}\). Стартуем с нуля — интегрируем.
Снаружи \(B_{\text{нар}}=\alpha t\). Для круговой орбиты радиуса \(r\)
Вихревое поле на орбите: \(2\pi r E=\dot\Phi\), сила \(eE=\dot p\). С \(p(0)=0\), \(B_{\text{вн}}(0)=0\)
\[ e\alpha t r=e\int_0^t E\,\mathrm{d}t'=\frac{e}{2r}\Bigl[B_{\text{вн}}r_0^2+\alpha t(r^2-r_0^2)\Bigr]. \]
Сокращаем \(e\) и умножаем на \(2r\):
\[ 2\alpha t r^2=B_{\text{вн}}r_0^2+\alpha t r^2-\alpha t r_0^2, \]
\[ B_{\text{вн}}=\alpha t\Bigl(1+\frac{r^2}{r_0^2}\Bigr). \]
Внутри поле должно быть сильнее наружного: ему нужно обеспечить «бетатронное» среднее \(\langle B\rangle=2B_{\text{орб}}\). Здесь \(B_{\text{орб}}=\alpha t\), среднее
Проверка. При \(r\to r_0+\) получаем \(B_{\text{вн}}=2\alpha t\) — классический бетатрон: внутри поле вдвое больше, чем на орбите. При большом \(r\) внутреннее поле растёт как \((r/r_0)^2\): пятно маленькое, чтобы дать нужный поток, \(B_{\text{вн}}\) должно быть огромным. Электрон стартовал с нуля — и \(p\propto t\), и оба поля \(\propto t\), орбита самоподобна.