В однородном магнитном поле электрон движется по окружности определённого радиуса. Уменьшается или увеличивается радиус кривизны траектории электрона при медленном возрастании индукции магнитного поля?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На мгновенной окружности радиуса \(R\)
\[ 2\pi R E=\pi R^2\dot B\qquad\Longrightarrow\qquad eE=\frac{eR}{2}\dot B=\dot p. \]Но на круге всегда \(p=eBR\). Дифференцируем:
\[ \dot p=e(\dot B R+B\dot R). \]Приравниваем:
\[ e\dot B R+eB\dot R=\frac{eR}{2}\dot B\qquad\Longrightarrow\qquad B\dot R=-\frac R2\dot B\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}R}{R}=-\frac12\frac{\mathrm{d}B}{B}. \]Значит \(R\propto B^{-1/2}\). При росте \(B\) радиус уменьшается. Импульс растёт только как \(\sqrt B\), а знаменатель в \(R=p/(eB)\) — как \(B\).
Словами книги: силы Лоренца растут, скорость тоже, но недостаточно быстро, чтобы удержать прежний радиус.
Если поле уменьшать, радиус растёт — так в бетатроне выпускают пучок, сбрасывая \(B\) чуть быстрее, чем велит условие Видероэ: орбита расползается к мишени. «Медленно» здесь значит \(\dot B/B\ll\omega_{\text{цикл}}\): за оборот поле почти не меняется, иначе появится дрейф ведущего центра.