Индукция магнитного поля направлена вдоль оси \(z\) и зависит от расстояния до этой оси так, как изображено на рисунке. На каком расстоянии от оси \(z\) вращается электрон, который при возрастании поля остаётся на своей орбите? Во сколько раз увеличивается энергия этого электрона при десятикратном увеличении индукции поля? Как будут двигаться при возрастании поля электроны, которые двигались по другим круговым орбитам?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Типичный рисунок задачи: \(B=B_0\) вблизи оси и линейно падает до нуля при \(\rho=r_0\). Берём \(B(\rho)=B_0(1-\rho/r_0)\) (если есть короткая полка, она слабо двигает корень). Среднее внутри орбиты радиуса \(l\)
\[ \langle B\rangle=\frac{2}{l^2}\int_0^l B(\rho)\rho\,\mathrm{d}\rho =B_0\Bigl(1-\frac{2l}{3r_0}\Bigr),\qquad B(l)=B_0\Bigl(1-\frac{l}{r_0}\Bigr). \]Условие \(B(l)=\langle B\rangle/2\):
\[ 1-\frac{l}{r_0}=\frac12\Bigl(1-\frac{2l}{3r_0}\Bigr),\qquad 1=\frac{4l}{3r_0},\qquad l=\frac{3}{4}r_0. \]На фиксированной орбите \(p=eB(l)l\propto B\), энергия \(\propto p^2\propto B^2\). Десятикратный рост индукции (весь профиль масштабируется) даёт стократный рост энергии.
Для других орбит. Профиль растёт подобно себе, \(\dot B/B\) одно и то же всюду. Из 11.2.16
\[ \dot R=\frac RB\Bigl(\frac{\langle B\rangle}{2}-B\Bigr)^\cdot\Big/\dot B\cdot\dot B =\frac R B\cdot\frac{\dot B}{B}\bigl(\langle B\rangle/2-B\bigr). \]Знак \(\dot R\) — знак \(\langle B\rangle-2B\). При \(R<l\) среднее «не дотягивает» до удвоенного местного поля, \(\dot R<0\) — спираль к оси. При \(R>l\) — спираль наружу.